미적분 예제

$2 x e^{- x} + e^{2 x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 x e^{- x} + e^{2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x e^{- x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.10

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

단계 3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \cdot 2$

단계 3.5

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 e^{2 x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

단계 4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

단계 4.4

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$