미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{1}{x - 4}$ 을 ${(x - 4)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

단계 1.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

단계 1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

단계 1.1.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

단계 1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

단계 1.1.3.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x - 4)}^{- 2}$

단계 1.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 5

도함수 $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 4)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

단계 6.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

단계 6.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

단계 6.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (3) = - 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 6.3

$x = 3$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 4)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 4)$ 에서 감소함

단계 7

$(4, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

단계 7.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

단계 7.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (5) = - 1$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 7.3

$x = 5$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(4, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(4, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

단계 9