미적분 예제

$2 x \sin (2 x + 2)$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \sin (2 x + 2)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (2 x + 2)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 2)] + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x + 2$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 x + 2$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\cos (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$2 (x (\cos (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + 0)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (x (\cos (2 x + 2) \cdot 2) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6.2

$\cos (2 x + 2)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (x (2 \cdot \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \cdot 1)$

단계 4.8

$\sin (2 x + 2)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x (2 \cos (2 x + 2))) + 2 \sin (2 x + 2)$

단계 5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x \cos (2 x + 2) + 2 \sin (2 x + 2)$