미적분 예제

$2 x \log_{3} (\sqrt{x})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [2 x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{\frac{1}{2}})] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = \log_{3} (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$\log_{3} (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (3)}$ 입니다.

$2 (x (\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 13

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (3)}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 14

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 14.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 14.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 14.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 14.4

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 15

식을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$x^{0}$ 을 간단히 합니다.

$2 (\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 15.2

$\ln (3)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (3)} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{1}{2 \ln (3)} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

단계 17

$\log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2 \ln (3)} + \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}))$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{1}{2 \ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 18.2

항을 묶습니다.

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단계 18.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 \ln (3)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2 \ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 18.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 \ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 18.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\ln (3)} + 2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}})$

단계 18.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (3)}$