미적분 예제

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

단계 1

$5 x^{4} + 20 x^{3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $5 x^{4} + 20 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{4}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 2.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 2.1.2.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x^{3}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $20 x^{3} + 60 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $20 x^{3}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

단계 2.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

단계 2.2.2.3

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $60 x^{2}$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

단계 2.2.3.3

$2$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $60 x^{2} + 120 x$ 입니다.

$60 x^{2} + 120 x$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $60 x^{2} + 120 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$60 x^{2} + 120 x = 0$

단계 3.2

$60 x^{2} + 120 x$ 에서 $60 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$60 x^{2}$ 에서 $60 x$ 를 인수분해합니다.

$60 x (x) + 120 x = 0$

단계 3.2.2

$120 x$ 에서 $60 x$ 를 인수분해합니다.

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

단계 3.2.3

$60 x (x) + 60 x (2)$ 에서 $60 x$ 를 인수분해합니다.

$60 x (x + 2) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 3.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 3.6

$60 x (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.2

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$20$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.2

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 4.3

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ 에 $- 2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

단계 4.3.2.1.2

$5$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

단계 4.3.2.1.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

단계 4.3.2.1.4

$20$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 80 - 160$

단계 4.3.2.2

$80$ 에서 $160$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 80$

단계 4.3.2.3

최종 답은 $- 80$ 입니다.

$- 80$

단계 4.4

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ 에 $- 2$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 2, - 80)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 2, - 80)$

단계 4.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (- 2, - 80)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 2.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

단계 6.2.1.2

$60$ 에 $4.41$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

단계 6.2.1.3

$120$ 에 $- 2.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

단계 6.2.2

$264.6$ 에서 $252$ 을 뺍니다.

$f'' (- 2.1) = 12.6$

단계 6.2.3

최종 답은 $12.6$ 입니다.

$12.6$

단계 6.3

$- 2.1$ 에서의 이계도함수는 $12.6$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 2, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

단계 7.2.1.2

$60$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

단계 7.2.1.3

$120$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1) = 60 - 120$

단계 7.2.2

$60$ 에서 $120$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1) = - 60$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 60$ 입니다.

$- 60$

단계 7.3

$- 1$ 에서의 2차 미분값은 $- 60$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 2, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 2, 0)$ 에서 감소함

단계 8

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

단계 8.2.1.2

$60$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

단계 8.2.1.3

$120$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

단계 8.2.2

$0.6$ 를 $12$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 12.6$

단계 8.2.3

최종 답은 $12.6$ 입니다.

$12.6$

단계 8.3

$0.1$ 에서의 이계도함수는 $12.6$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 2, - 80), (0, 0)$ 입니다.

$(- 2, - 80), (0, 0)$

단계 10