미적분 예제

$36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

단계 1

$36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $36 x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 의 미분은 $36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$ 입니다.

$36 \frac{d}{d x} [x^{3} {(3 x^{4} + 7)}^{2}]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = {(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 7)}^{2}] + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{4} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{4} + 7$ 로 바꿉니다.

$36 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 x^{4} + 7$ 로 바꿉니다.

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 7]) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.5

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3} + 0)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$36 (x^{3} (2 (3 x^{4} + 7) (12 x^{3})) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.2

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$36 (x^{3} (24 (3 x^{4} + 7) x^{3}) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$36 (x^{3} x^{3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$36 (x^{3 + 3} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + {(3 x^{4} + 7)}^{2} (3 x^{2}))$

단계 7

${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4} + 7)) + 3 \cdot {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4})) + x^{6} (24 \cdot 7) + 3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$36 (x^{6} (24 (3 x^{4}))) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4

항을 묶습니다.

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단계 8.4.1

$3$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$36 (x^{6} (72 x^{4})) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.2

지수를 더하여 $x^{6}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$36 (x^{4} x^{6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$36 (x^{4 + 6} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.2.3

$4$ 를 $6$ 에 더합니다.

$36 (x^{10} \cdot 72) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.3

$x^{10}$ 의 왼쪽으로 $72$ 이동하기

$36 (72 \cdot x^{10}) + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.4

$72$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} (24 \cdot 7)) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.5

$24$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 36 (x^{6} \cdot 168) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.6

$x^{6}$ 의 왼쪽으로 $168$ 이동하기

$2592 x^{10} + 36 (168 \cdot x^{6}) + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.7

$168$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 36 (3 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2})$

단계 8.4.8

$3$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 {(3 x^{4} + 7)}^{2} x^{2}$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} {(3 x^{4} + 7)}^{2}$

단계 8.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.6.1

${(3 x^{4} + 7)}^{2}$ 을 $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} ((3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7))$

단계 8.6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x^{4} + 7) (3 x^{4} + 7)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4} + 7) + 7 (3 x^{4} + 7))$

단계 8.6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4} + 7))$

단계 8.6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 x^{4} (3 x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3.1.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.3.1.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{4 + 4} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3.1.2.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (3 \cdot 3 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 3 x^{4} \cdot 7 + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3.1.4

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 7 (3 x^{4}) + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3.1.5

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 7 \cdot 7)$

단계 8.6.3.1.6

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 21 x^{4} + 21 x^{4} + 49)$

단계 8.6.3.2

$21 x^{4}$ 를 $21 x^{4}$ 에 더합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8} + 42 x^{4} + 49)$

단계 8.6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 x^{2} (9 x^{8}) + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

단계 8.6.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 x^{2} (42 x^{4}) + 108 x^{2} \cdot 49$

단계 8.6.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 108 x^{2} \cdot 49$

단계 8.6.5.3

$49$ 에 $108$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{2} x^{8} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.6.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{8}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.6.1.1

$x^{8}$ 를 옮깁니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 (x^{8} x^{2}) + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{8 + 2} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6.1.3

$8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 108 \cdot 9 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6.2

$108$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{2} x^{4} + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.6.3.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 (x^{4} x^{2}) + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{4 + 2} + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6.3.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 108 \cdot 42 x^{6} + 5292 x^{2}$

단계 8.6.6.4

$108$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$2592 x^{10} + 6048 x^{6} + 972 x^{10} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

단계 8.7

$2592 x^{10}$ 를 $972 x^{10}$ 에 더합니다.

$3564 x^{10} + 6048 x^{6} + 4536 x^{6} + 5292 x^{2}$

단계 8.8

$6048 x^{6}$ 를 $4536 x^{6}$ 에 더합니다.

$3564 x^{10} + 10584 x^{6} + 5292 x^{2}$