미적분 예제

$3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$3 \cosh (y)$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x \cosh (y)$ 의 미분은 $3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cosh (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

단계 2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

${(e^{x})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{x \cdot - 1})]$

단계 3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- 1 \cdot x})]$

단계 3.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- x})]$

단계 3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sinh (e^{- x})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$ 입니다.

$3 \cosh (y) - \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$

단계 3.3

$f (x) = \sinh (x)$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$3 \cosh (y) - (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.3.2

$\sinh (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cosh (u_{1})$ 입니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{- x}$ 로 바꿉니다.

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단계 3.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{x \cdot - 1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.3.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- 1 \cdot x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.3.3.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 3.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

단계 3.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \cdot - 1))$

단계 3.8

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- 1 \cdot e^{- x}))$

단계 3.9

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- e^{- x}))$

단계 3.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 \cosh (y) + 1 (\cosh (e^{- x}) (e^{- x}))$

단계 3.11

$\cosh (e^{- x})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \cosh (y) + \cosh (e^{- x}) e^{- x}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- x} \cosh (e^{- x}) + 3 \cosh (y)$