미적분 예제

$3 x \arctan (5 x)$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x \arctan (5 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = \arctan (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$5 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$5$ 와 $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

$\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

단계 4.8

$\arctan (5 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (5 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

단계 7

$3$ 와 $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8.3.1.2

$\arctan (5 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8.3.1.4

$25$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8.3.2

$15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

단계 8.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$