미적분 예제

$5 \log ({(2)}^{x + 10})$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \log (2^{x + 10})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$

단계 2

$f (x) = \log (x)$ , $g (x) = 2^{x + 10}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2^{x + 10}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

단계 2.2

$\log (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ 입니다.

$5 (\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

단계 3

$\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}]$

단계 4

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = x + 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + 10$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 10])$

단계 4.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + 10$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{x + 10} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$2^{x + 10}$ 와 $\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

단계 5.2

항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\ln (2)$ 와 $\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (2) (2^{x + 10} \cdot 5)}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

단계 5.2.2

다시 정렬합니다.

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단계 5.2.2.1

$2^{x + 10}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{\ln (2) (5 \cdot 2^{x + 10})}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

단계 5.2.2.2

$\ln (2)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

단계 5.2.3

$2^{x + 10}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

단계 5.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

단계 5.3

합의 법칙에 의해 $x + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + \frac{d}{d x} [10])$

단계 5.5

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + 0)$

단계 5.6

식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \cdot 1$

단계 5.6.2

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $5 \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\ln (2^{5})}{\ln (10)}$

단계 6.2

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{\ln (32)}{\ln (10)}$