미적분 예제

$4 \tan (5 x) \sec (5 x)$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \tan (5 x) \sec (5 x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\tan (5 x) \sec (5 x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\tan (5 x) \sec (5 x)]$

단계 2

$f (x) = \tan (5 x)$ , $g (x) = \sec (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 3

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$4 (\tan (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 3.2

$\sec (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ 입니다.

$4 (\tan (5 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$4 (\tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 4

$\tan (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 5

$\tan (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 ({\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (\tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 7.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 7.4

식을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5 + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 7.4.2

$\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$4 (5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

단계 8

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 8.2

$\tan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{2})$ 입니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 8.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 9

$\sec (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + {\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 11

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 12

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1))$

단계 14

식을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) \cdot 5)$

단계 14.2

$\sec^{3} (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 5 \cdot \sec^{3} (5 x))$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + 4 (5 \sec^{3} (5 x))$

단계 15.2

항을 묶습니다.

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단계 15.2.1

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + 4 (5 \sec^{3} (5 x))$

단계 15.2.2

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 20 \sec^{3} (5 x)$