미적분 예제

$10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $10000 - 2500 x + 3750 \sqrt{16 + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [10000] + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

단계 1.2

$10000$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10000$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10000$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2500 x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- 2500 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 2500$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2500 x$ 의 미분은 $- 2500 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2500 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2500 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

단계 2.3

$- 2500$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3750 \sqrt{16 + x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{16 + x^{2}}$ 을(를) ${(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$0 - 2500 + \frac{d}{d x} [3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$3750$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3750 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$0 - 2500 + 3750 \frac{d}{d x} [{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 16 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $16 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

단계 3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $16 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 + x^{2}])$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $16 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.5

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))$

단계 3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))$

단계 3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

단계 3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))$

단계 3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))$

단계 3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))$

단계 3.12

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{1}{2} {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))$

단계 3.13

$\frac{1}{2}$ 와 ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))$

단계 3.14

$2$ 와 $\frac{{(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$0 - 2500 + 3750 (\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

단계 3.15

$\frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 {(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

단계 3.16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(16 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.17

공약수로 약분합니다.

$0 - 2500 + 3750 \frac{2 x}{2 {(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.18

수식을 다시 씁니다.

$0 - 2500 + 3750 \frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.19

$3750$ 와 $\frac{x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$0 - 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$0$ 에서 $2500$ 을 뺍니다.

$- 2500 + \frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3750 x}{{(16 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2500$