미적분 예제

$1 - \arctan (e^{x})$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $1 - \arctan (e^{x})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

단계 1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \arctan (e^{x})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$

단계 2.2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} e^{x})$

단계 2.4

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 - (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} e^{x})$

단계 2.4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x})$

단계 2.5

$\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$0 - \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

단계 3

$0$ 에서 $\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$ 을 뺍니다.

$- \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$