미적분 예제

$\frac{x - 4}{x^{2} - 3 x - 4}$

단계 1

$f (x) = x - 4$ , $g (x) = x^{2} - 3 x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x^{2} - 3 x - 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.7

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.9

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.10

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 2.11

$2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x - - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x + 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 4) (2 x - 3)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.4

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.6

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2

$3 x$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.2

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} - 3 x - 4 + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 3 x$ 를 $11 x$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 8 x - 4 - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- 4$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 8 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ 이고 합이 $b = 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.3.1.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} + 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$8$ 를 $4$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (4 + 4) x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x + 4) - 4 (- x + 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.3.3

최대공약수 $- x + 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

단계 3.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 3 x - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $- 3$ 입니다.

$- 4, 1$

단계 3.4.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{((x - 4) (x + 1))}^{2}}$

단계 3.4.2

$(x - 4) (x + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5.2

$4$ 을 $- 1 (- 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5.3

$- (x) - 1 (- 4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5.4

$- (x - 4)$ 을 $- 1 (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5.5

$x - 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} (x - 4))}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5.6

$x - 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1})}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.6

${(x - 4)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$