미적분 예제

$x^{3} \sin (3 x^{2})$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (3 x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$x^{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (6 x)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$x^{4} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5

$\cos (3 x^{2})$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$x^{4} (6 \cdot \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (6 \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) (3 x^{2})$

단계 7

항을 다시 정렬합니다.

$6 x^{4} \cos (3 x^{2}) + 3 x^{2} \sin (3 x^{2})$