미적분 예제

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = t x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t x$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $t x$ 로 바꿉니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 2.2

$t$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $t x$ 의 미분은 $t \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 2.4

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

단계 3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

단계 3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

단계 3.5

$3 t$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 t x^{2}$ 의 미분은 $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

단계 3.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$t x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

단계 4.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$