미적분 예제

$x^{3} (7 - x^{2})$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 7 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [7 - x^{2}] + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $7 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$x^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.2

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (- (2 x)) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (- 2 x) + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{3} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{3} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 3} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$x^{4} \cdot - 2 + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 \cdot x^{4} + (7 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{4} + (7 - x^{2}) (3 x^{2})$

단계 6

$7 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- 2 x^{4} + 3 \cdot (7 - x^{2}) x^{2}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{4} + (3 \cdot 7 + 3 (- x^{2})) x^{2}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{4} + 3 \cdot 7 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2}$

단계 7.3

항을 묶습니다.

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단계 7.3.1

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2}$

단계 7.3.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 x^{2} x^{2}$

단계 7.3.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2})$

단계 7.3.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 x^{2 + 2}$

단계 7.3.3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} + 21 x^{2} - 3 x^{4}$

단계 7.3.4

$- 2 x^{4}$ 에서 $3 x^{4}$ 을 뺍니다.

$- 5 x^{4} + 21 x^{2}$