미적분 예제

$x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.4

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.5

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.5.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 2.5.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x e^{x}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

단계 3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

단계 3.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x}$

단계 4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 x e^{x} - 3 e^{x}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$

단계 4.4

$2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x \ln (x) - 3 x e^{x} + x - 3 e^{x}$