미적분 예제

$x^{2} \arctan (e^{x})$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \arctan (e^{x})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $e^{x}$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

분수를 통분합니다.

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단계 3.1

${(e^{x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} (\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}} e^{x} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{x^{2}}{1 + e^{2 x}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \arctan (e^{x}) (2 x)$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (e^{x}) (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{x}}{1 + e^{2 x}} + \frac{\arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) (1 + e^{2 x})}{1 + e^{2 x}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} e^{x} + \arctan (e^{x}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

단계 8.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x \cdot 1 + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

단계 8.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + \arctan (e^{x}) (2 x) e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

단계 8.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$

단계 8.2.2

$x^{2} e^{x} + 2 \arctan (e^{x}) x + 2 \arctan (e^{x}) x e^{2 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} e^{x} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 x e^{2 x} \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x^{2} + 2 x \arctan (e^{x}) + 2 e^{2 x} x \arctan (e^{x})}{1 + e^{2 x}}$