미적분 예제

$x^{2} y^{3 - x^{3} + y + 2}$

단계 1

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{- x^{3} + y + 5}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y^{- x^{3} + y + 5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{- x^{3} + y + 5}] + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

$f = y$ , $g = - x^{3} + y + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 5 - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [y] ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.2

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$x^{2} (0 ((- x^{3} + y + 5) y^{- x^{3} + y + 4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- x^{3} + y + 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x^{2} (0 y^{- x^{3} + y + 4} + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3.2

$0$ 에 $y^{- x^{3} + y + 4}$ 을 곱합니다.

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))$ 에 더합니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{3} + y + 5] (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.4

합의 법칙에 의해 $- x^{3} + y + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$x^{2} ((\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) (y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y))) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$x^{2} ((- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} ((- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.8

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.9

$- 3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} ((- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.10

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$x^{2} ((- 3 x^{2} + 0) y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.11

$- 3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} (- 3 x^{2} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} x^{2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 2} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (- 3 y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y)) + y^{- x^{3} + y + 5} (2 x)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$

단계 7.2

$- 3 y^{- x^{3} + y + 5} x^{4} \ln (y) + 2 y^{- x^{3} + y + 5} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{4} y^{- x^{3} + y + 5} \ln (y) + 2 x y^{- x^{3} + y + 5}$