미적분 예제

$x^{2} \sqrt{6 x - 9}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6 x - 9}$ 을(를) ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 6 x - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x - 9$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $6 x - 9$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (\frac{{(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(6 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{2} (\frac{1}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 9] + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $6 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 10

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 12

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 9]) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 13

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0) + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6 + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 14.2

$\frac{x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot 6}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 14.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{6 \cdot x^{2}}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 14.4

$6 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 15

공약수로 약분합니다.

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단계 15.1

$2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 ({(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}})} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 15.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (3 x^{2})}{2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 15.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

단계 17

${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} x$

단계 18

공통분모를 사용하여 $\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $2 {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 하나로 묶습니다.

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단계 18.1

${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$

단계 18.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19

지수를 더하여 ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 19.1

${(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x ({(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}} {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x {(6 x - 9)}^{1}}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

$2 x {(6 x - 9)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x (6 x - 9)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

간단히 합니다.

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단계 21.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 x (6 x) + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 21.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 21.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 21.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2.1.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 12 x^{2} + 2 x \cdot - 9}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2.1.4

$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 12 x^{2} - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2.2

$3 x^{2}$ 를 $12 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{15 x^{2} - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.3

$15 x^{2} - 18 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 21.3.1

$15 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (5 x) - 18 x}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.3.2

$- 18 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (5 x) + 3 x (- 6)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.3.3

$3 x (5 x) + 3 x (- 6)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x (5 x - 6)}{{(6 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$