미적분 예제

$x^{2} {(6 - x)}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 6 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $6 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $6 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

단계 3.9

${(6 - x)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ 에서 $x {(6 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ 에서 $x {(6 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

단계 4.1.2

$2 {(6 - x)}^{3} x$ 에서 $x {(6 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

단계 4.1.3

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ 에서 $x {(6 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

단계 4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.3

${(6 - x)}^{2}$ 을 $(6 - x) (6 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(6 - x) (6 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1.1

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.1.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.1.3

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.5.2

$- 6 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.7

간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$x$ 의 왼쪽으로 $36$ 이동하기

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.7.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.7.3.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.7.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.7.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.7.3.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.8

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.8.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

단계 4.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

단계 4.9.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

단계 4.9.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

단계 4.10

$- 3 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

단계 4.11

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ 를 전개합니다.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.12.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.12.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.3

$36$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.4

$12$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.12.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.6.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.12.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.6.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.7

$- 12$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.8

$12$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.10

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.10.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.10.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.12.10.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.10.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.10.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

단계 4.12.11

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

단계 4.13

$- 180 x^{2}$ 에서 $144 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

단계 4.14

$60 x^{3}$ 를 $12 x^{3}$ 에 더합니다.

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$