미적분 예제

$f (x) = (x^{3}) \sqrt[5]{2 - x}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{2 - x}$ 을(를) ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{5}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ , $g (x) = 2 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 - x$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 7.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 8.2

$\frac{1}{5}$ 와 ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$x^{3} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{3} (\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 8.4

$\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $2 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 10

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 12

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 14

분수를 통분합니다.

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단계 14.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 14.2

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} \cdot - 1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 14.3

식을 간단히 합니다.

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단계 14.3.1

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 14.3.2

$- 1 x^{3}$ 을 $- x^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 14.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 15

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} (3 x^{2})$

단계 16

다시 정렬합니다.

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단계 16.1

${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + 3 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} x^{2}$

단계 16.2

${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 를 옮깁니다.

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$

단계 17

공통 분모를 가지는 분수로 $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 18

$3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 와 $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 20

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 21

지수를 더하여 ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ 에 ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ 을 곱합니다.

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단계 21.1

${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} ({(- x + 2)}^{\frac{4}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 21.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 21.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4 + 1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 21.4

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{5}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 21.5

$5$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 22

$15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x + 2)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23

간단히 합니다.

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단계 23.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 23.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 23.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 23.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2.1.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 23.2.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2.1.3

$15$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2.1.4

$2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.2.2

$- x^{3}$ 에서 $15 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 16 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.3

$- 16 x^{3} + 30 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 23.3.1

$- 16 x^{3}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.3.2

$30 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.3.3

$2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)$ 에서 $2 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} (- 8 x + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.4

$- 8 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.5

$15$ 을 $- 1 (- 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) - 1 (- 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.6

$- (8 x) - 1 (- 15)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x^{2} (- (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.7

$- (8 x - 15)$ 을 $- 1 (8 x - 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x^{2} (- 1 (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 23.9

$- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 x^{2} (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$