미적분 예제

$f (t) = \frac{8 t}{8 + \sqrt{t}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$8$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{8 t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d t} [\frac{t}{8 + t^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = 8 + t^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(8 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.2

$8 + t^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [8 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $8 + t^{\frac{1}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4

$8$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 에 더합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.6

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 10

$\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11

지수를 더하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

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단계 11.1

$t^{- \frac{1}{2}}$ 에 $t$ 을 곱합니다.

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단계 11.1.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 11.4

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 12

공통 분모를 가지는 분수로 $t^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 13

$t^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 15

$t^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$8 \frac{8 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 16

$2 t^{\frac{1}{2}}$ 에서 $t^{\frac{1}{2}}$ 을 뺍니다.

$8 \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 17

$\frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 (\frac{2}{2} \cdot \frac{8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 18

조합합니다.

$8 \frac{2 (8 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 19

분배 법칙을 적용합니다.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 20

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 20.1

공약수로 약분합니다.

$8 \frac{2 \cdot 8 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 20.2

수식을 다시 씁니다.

$8 \frac{2 \cdot 8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 21

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$8 \frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 22

$8$ 와 $\frac{16 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 23

$8 (16 + t^{\frac{1}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 24

공약수로 약분합니다.

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단계 24.1

$2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

단계 24.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (4 (16 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 24.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (16 + t^{\frac{1}{2}})}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 25

간단히 합니다.

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단계 25.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 \cdot 16 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 25.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{64 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(8 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 25.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

단계 25.4

$4 t^{\frac{1}{2}} + 64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 25.4.1

$4 t^{\frac{1}{2}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}}) + 64}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

단계 25.4.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$

단계 25.4.3

$4 t^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (t^{\frac{1}{2}} + 16)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}$