미적분 예제

$f (t) = \frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{5}{t^{3}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.2

$\frac{1}{t^{3}}$ 을 ${(t^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $t^{3}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $t^{3}$ 로 바꿉니다.

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.5

${(t^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$5 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.7

지수를 더하여 $t^{- 6}$ 에 $t^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.1

$t^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$5 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 2.8

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 15 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{4}{t^{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ 입니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.2

$\frac{1}{t^{2}}$ 을 ${(t^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.5

${(t^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.7

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 3.10

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 4

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{t}$ 을 $t^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

단계 6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - t^{- 2}$

단계 7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

항을 묶습니다.

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단계 8.1.1

$- 15$ 와 $\frac{1}{t^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

단계 8.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

단계 8.1.3

$8$ 와 $\frac{1}{t^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{15}{t^{4}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

단계 8.2

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{15}{t^{4}}$