미적분 예제

$f (x) = (4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x}$

단계 1

$f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 8$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

단계 2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - 8 x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 3.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 3.5

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

단계 3.7

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

단계 3.8

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + 0)$

단계 3.9

$8 x - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) + e^{x} \cdot - 8$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) - 8 \cdot e^{x}$

단계 4.3.2

$- 8 x e^{x}$ 를 $e^{x} (8 x)$ 에 더합니다.

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단계 4.3.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 x e^{x} + 8 x e^{x} - 8 e^{x}$

단계 4.3.2.2

$- 8 x e^{x}$ 를 $8 x e^{x}$ 에 더합니다.

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} + 0 - 8 e^{x}$

단계 4.3.3

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 e^{x}$

단계 4.3.4

$8 e^{x}$ 에서 $8 e^{x}$ 을 뺍니다.

$4 x^{2} e^{x} + 0$

단계 4.3.5

$4 x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x^{2} e^{x}$

단계 4.4

$4 x^{2} e^{x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$4 e^{x} x^{2}$

단계 4.5

$4 e^{x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$4 x^{2} e^{x}$