미적분 예제

$f (x) = (4 x - 2) e^{2 x}$

단계 1

$f (x) = 4 x - 2$ , $g (x) = e^{2 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$(4 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$(4 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 3.3.2

$(4 x - 2) e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot ((4 x - 2) e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $4 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 3.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 3.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 3.8

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + 0)$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 4$

단계 3.9.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + 4 \cdot e^{2 x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 (4 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (4 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

단계 4.3.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 x e^{2 x} - 4 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

단계 4.3.3

$- 4 e^{2 x}$ 를 $4 e^{2 x}$ 에 더합니다.

$8 x e^{2 x} + 0$

단계 4.3.4

$8 x e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x e^{2 x}$

단계 4.4

$8 x e^{2 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$8 e^{2 x} x$

단계 4.5

$8 e^{2 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$8 x e^{2 x}$