미적분 예제

$f (x) = {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

$f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ , $g (t) = 60 + 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $60 + 2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 1.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $60 + 2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 5.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} {(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 6.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 {(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(60 + 2 t)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [60 + 2 t]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $60 + 2 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [2 t]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [2 t])$

단계 8

$60$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $60$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $60$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d t} [2 t])$

단계 9

$0$ 를 $\frac{d}{d t} [2 t]$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [2 t]$

단계 10

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d t} [t])$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

$2$ 와 $\frac{2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t]$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

단계 13

$\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3 {(60 + 2 t)}^{\frac{1}{3}}}$