미적분 예제

$e^{\frac{x}{y}} = 9 x - y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (9 x - y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{x}{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{y}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

단계 2.5

$e^{\frac{x}{y}}$ 와 $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $9 x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [9 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$9 - \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$9 - y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 9 - y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2.1.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2.1.1.3.2

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2.1.1.3.3

$x$ 를 옮깁니다.

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2.1.1.3.4

$y e^{\frac{x}{y}}$ 와 $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ 을 다시 정렬합니다.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (9 - y') y^{2}$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$(9 - y') y^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 9 y^{2} - y' y^{2}$

단계 5.2.2.1.2

$9 y^{2}$ 와 $- y' y^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + 9 y^{2}$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에 $y' y^{2}$ 를 더합니다.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = 9 y^{2}$

단계 5.3.2

방정식의 양변에서 $y e^{\frac{x}{y}}$ 를 뺍니다.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

단계 5.3.3

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- y' x e^{\frac{x}{y}}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

단계 5.3.3.2

$y' y^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

단계 5.3.3.3

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

단계 5.3.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

단계 5.3.5

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ 의 각 항을 $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = 9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ 의 각 항을 $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{9 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.2.1

$- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{9 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{9 y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.3.2.1

$9 y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.3.2.1.1

$9 y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (9 y) - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.3.2.1.2

$- y e^{\frac{x}{y}}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (9 y) + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.3.2.1.3

$y (9 y) + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (9 y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.3.2.2

$- 1 e^{\frac{x}{y}}$ 을 $- e^{\frac{x}{y}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

단계 5.3.5.3.3

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.3.3.1

$- x e^{\frac{x}{y}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

단계 5.3.5.3.3.2

$y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

단계 5.3.5.3.3.3

$- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

단계 5.3.5.3.3.4

음수 부분을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.3.3.4.1

$- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ 을 $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

단계 5.3.5.3.3.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (9 y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$