미적분 예제

$f (x) = {(x + 8)}^{\frac{6}{7}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ , $g (x) = x + 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{6}{7}}] \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 1.2

$n = \frac{6}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x + 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{6}{7} {(x + 8)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} {(x + 8)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{7} {(x + 8)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6}{7} {(x + 8)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7} {(x + 8)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 5.2

$6$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{6}{7} {(x + 8)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{6}{7} {(x + 8)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 6.2

$\frac{6}{7}$ 와 ${(x + 8)}^{- \frac{1}{7}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 {(x + 8)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 8)}^{- \frac{1}{7}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 8)}^{\frac{1}{7}}} \frac{d}{d x} [x + 8]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{6}{7 {(x + 8)}^{\frac{1}{7}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 8)}^{\frac{1}{7}}} (1 + \frac{d}{d x} [8])$

단계 9

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{6}{7 {(x + 8)}^{\frac{1}{7}}} (1 + 0)$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 8)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

단계 10.2

$\frac{6}{7 {(x + 8)}^{\frac{1}{7}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{7 {(x + 8)}^{\frac{1}{7}}}$