미적분 예제

$f (x) = \frac{{(3 x - 5)}^{3}}{{(2 x^{2} + 1)}^{4}}$

단계 1

$f (x) = {(3 x - 5)}^{3}$ , $g (x) = {(2 x^{2} + 1)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}}$

단계 2

${({(2 x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}}$

단계 2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{3}] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 3 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{4} (3 {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

${(2 x^{2} + 1)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 5] - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 5]) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4.6

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} (3 + 0) - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} \cdot 3 - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 4.7.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{4}]}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 5

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 5.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - {(3 x - 5)}^{3} (4 {(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x + 0))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.7

식을 간단히 합니다.

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단계 6.7.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} (4 x))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.7.2

${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 4 {(3 x - 5)}^{3} (4 \cdot {(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 6.7.3

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2} - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ 에서 ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1.1

$9 {(2 x^{2} + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2}$ 에서 ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) - 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.1.2

$- 16 {(3 x - 5)}^{3} ({(2 x^{2} + 1)}^{3} x)$ 에서 ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.1.3

${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1)) + {(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 16 (3 x - 5) x)$ 에서 ${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2} + 1) - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (9 (2 x^{2}) + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 \cdot 1 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.4

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 16 (3 x - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 16 (3 x) - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.6

$3$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x - 16 \cdot - 5) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.7

$- 16$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 + (- 48 x + 80) x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x \cdot x + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.9

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.9.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 (x \cdot x) + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.9.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (18 x^{2} + 9 - 48 x^{2} + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.10

$18 x^{2}$ 에서 $48 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 9 + 80 x)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.1.11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.2

${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ 및 ${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

${(2 x^{2} + 1)}^{3} {(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)$ 에서 ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{8}}$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1

${(2 x^{2} + 1)}^{8}$ 에서 ${(2 x^{2} + 1)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{3} ({(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{3} {(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 30 x^{2} + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.3

$- 30 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) + 80 x + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.4

$80 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2}) - (- 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.5

$- (30 x^{2}) - (- 80 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) + 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.6

$9$ 을 $- 1 (- 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.7

$- (30 x^{2} - 80 x) - 1 (- 9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.8

$- (30 x^{2} - 80 x - 9)$ 을 $- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{(3 x - 5)}^{2} (- 1 (30 x^{2} - 80 x - 9))}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$

단계 7.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{{(3 x - 5)}^{2} (30 x^{2} - 80 x - 9)}{{(2 x^{2} + 1)}^{5}}$