미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2}}{9 + 4 x}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 9 + 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(9 + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(9 + 4 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.2

$9 + 4 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [9 + 4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $9 + 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.4

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.6

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 (9 + 4 x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x])}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.7

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2} \cdot 1}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 2.9

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (9 + 4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 9 + 2 (4 x)) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 9 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{18 x + 2 (4 x) x - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{18 x + 2 (4 (x \cdot x)) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{18 x + 2 (4 x^{2}) - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{18 x + 8 x^{2} - 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3.3.2

$8 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{18 x + 4 x^{2}}{{(9 + 4 x)}^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{2} + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

단계 3.5

$4 x^{2} + 18 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$4 x^{2}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x) + 18 x}{{(4 x + 9)}^{2}}$

단계 3.5.2

$18 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$

단계 3.5.3

$2 x (2 x) + 2 x (9)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (2 x + 9)}{{(4 x + 9)}^{2}}$