미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{\cos (x)}$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 1$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cos (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\cos (x) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

단계 3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{\cos (x) (2 x) - (x^{2} + 1) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 4

곱합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.2

$x^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x) (2 x) + (x^{2} + 1) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 5.2.1.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 5.2.2

$2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x) + \sin (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$