미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{4}{\sqrt{x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 을 ${(x^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.4

${(x^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- x^{- 2} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.4.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.6

지수를 더하여 $x^{- 6}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- x^{- 2} - 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 3.6.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt{x}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 4.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 4.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 4.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 4.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 4.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 4.12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 4.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 1}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

단계 4.14

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 4.14.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

단계 4.14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

단계 4.14.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

단계 4.14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

단계 4.14.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.14.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

단계 4.14.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

단계 4.14.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

단계 4.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} - 4 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

단계 4.16

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.17

$4$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{4}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.18

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.19

공약수로 약분합니다.

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단계 4.19.1

$2 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

단계 4.19.2

공약수로 약분합니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.19.3

수식을 다시 씁니다.

$- x^{- 2} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 x^{- 4} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 7

항을 묶습니다.

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단계 7.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 7.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$