미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

단계 1

$\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ 을 ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 4 x^{2} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $4 x^{2} + 4$ 로 바꿉니다.

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

단계 3.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

단계 3.5

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

단계 3.6.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

단계 4.2.3

$x$ 와 $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$4 x^{2} + 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.1.1

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

단계 4.3.1.3

$4 (x^{2}) + 4 (1)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

단계 4.3.2

$4 (x^{2} + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.3.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4

$8$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

$16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

단계 4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

단계 4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$