미적분 예제

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 1}{2 e^{x} + 1}$

단계 1

$f (x) = 2 e^{x} - 1$ , $g (x) = 2 e^{x} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1] - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 e^{x} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + 0) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x}) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

$2 e^{x} + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $2 e^{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (2 e^{x}) + 2 \cdot 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} + (- 2 (2 e^{x}) - 2 \cdot - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

$2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.5.1.1

$2 (2 e^{x}) e^{x}$ 에서 $2 (2 e^{x}) e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} + 0 - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.5.1.2

$2 \cdot 1 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.5.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.5.2.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.5.2.2

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{x} + 2 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.5.3

$2 e^{x}$ 를 $2 e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{4 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$