미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 3}{x}$

단계 1

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x^{2} + 3] - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4 x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.5

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.6

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x + 0) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.7

$3 x^{2} - 8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x (3 x^{2} - 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - (x^{3} - 4 x^{2} + 3)}{x^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{3} + x (- 8 x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{3} - 8 x \cdot x - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{3} - 8 (x \cdot x) - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} - (- 4 x^{2}) - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.5

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 1 \cdot 3}{x^{2}}$

단계 3.3.1.6

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - 8 x^{2} - x^{3} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

단계 3.3.2

$3 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$

단계 3.3.3

$- 8 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 3}{x^{2}}$