미적분 예제

$f (x) = e^{\sqrt{5 x + 2}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 x + 2}$ 을(를) ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 5 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x + 2$ 로 바꿉니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x + 2$ 로 바꿉니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $5 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 10

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 12

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 13

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

단계 14

분수를 통분합니다.

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단계 14.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

단계 14.2

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 14.3

$e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 e^{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$