미적분 예제

$f (x) = \frac{8 x - 9}{6 x^{2} + 1}$

단계 1

$f (x) = 8 x - 9$ , $g (x) = 6 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 9] - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $8 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{(6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.4

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.5

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + 0) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(6 x^{2} + 1) \cdot 8 - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.2

$6 x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$\frac{8 \cdot (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.8

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + 0)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.12.2

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 + (- 12 (8 x) - 12 \cdot - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

$6$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{48 x^{2} + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 (x \cdot x)) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x^{2}) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$8$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.5

$- 12$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$48 x^{2}$ 에서 $96 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 48 x^{2} + 8 + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 48 x^{2} + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$- 48 x^{2} + 108 x + 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.1

$- 48 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$108 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.3

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.4

$4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.5

$4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$- 12 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (12 x^{2}) + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.8

$27 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (12 x^{2}) - (- 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.9

$- (12 x^{2}) - (- 27 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.10

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.11

$- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.12

$- (12 x^{2} - 27 x - 2)$ 을 $- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 (12 x^{2} - 27 x - 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$