미적분 예제

$f (x) = \frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{x + 2} - \sqrt{x - 3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x + 2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x + 2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.2

$\frac{1}{x + 2}$ 을 ${(x + 2)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.6

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.7

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (- {(x + 2)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (- {(x + 2)}^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 2.9

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x - 3}$ 을(를) ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

단계 3.6

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

단계 3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

단계 3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

단계 3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

단계 3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

단계 3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

단계 3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

단계 3.12

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

단계 3.13

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

단계 3.14

$\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 3 {(x + 2)}^{- 2} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$