미적분 예제

$f (x) = \frac{4 t}{3 \sqrt{t - 2}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t - 2}$ 을(를) ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$\frac{4}{3}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 는 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

${({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{1}}$

단계 4

간단히 합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

단계 5.2

${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

단계 6

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = t - 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $t - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

단계 11.4

$\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2]}{t - 2}$

단계 12

합의 법칙에 의해 $t - 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

단계 14

$- 2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t - 2}$

단계 15

식을 간단히 합니다.

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단계 15.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t - 2}$

단계 15.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 16

공통 분모를 가지는 분수로 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 17

${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 19

지수를 더하여 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 19.1

${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 19.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 19.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 19.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 20

${(t - 2)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(t - 2) \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 21

$t - 2$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{2 \cdot (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

단계 22

$\frac{\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} (\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t - 2})$

단계 23

$\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{t - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)}$

단계 24

$t - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 ({(t - 2)}^{1} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 25

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 26

식을 간단히 합니다.

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단계 26.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 26.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 26.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 27

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{3 (2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

단계 28

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 29

$4 (2 (t - 2) - t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 30

공약수로 약분합니다.

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단계 30.1

$6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

단계 30.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

단계 30.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (2 (t - 2) - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31

간단히 합니다.

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단계 31.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 t + 2 \cdot - 2 - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 t) + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 31.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 31.3.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 t + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.3.1.2

$2 (2 \cdot - 2)$ 을 곱합니다.

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단계 31.3.1.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 t + 2 \cdot - 4 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.3.1.2.2

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 t - 8 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 t - 8 - 2 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.3.2

$4 t$ 에서 $2 t$ 을 뺍니다.

$\frac{2 t - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.4

$2 t - 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.4.1

$2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (t) - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.4.2

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 t + 2 \cdot - 4}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 31.4.3

$2 t + 2 \cdot - 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (t - 4)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$