미적분 예제

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $- 4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.2

$8$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.4

$40$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.5

$x$ 가 $- 4$ 에 가까워질 때 상수값 $32$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $- 4$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.6.1

$x$ 에 $- 4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.6.2

$x$ 에 $- 4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.7

답을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.7.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.7.1.2

$8$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.7.1.3

$40$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.7.2

$128$ 에서 $160$ 을 뺍니다.

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.2.7.3

$- 32$ 를 $32$ 에 더합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.3.1.1

$x$ 가 $- 4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 가 $- 4$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

단계 1.1.3.2

$x$ 에 $- 4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{- 4 + 4}$

단계 1.1.3.3

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $8 x^{2} + 40 x + 32$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.3.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [40 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$40$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $40 x$ 의 미분은 $40 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.4.3

$40$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.5

$32$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $32$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $32$ 입니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.6

$16 x + 40$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

단계 1.3.7

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

단계 1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

단계 1.3.9

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

단계 1.3.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

단계 1.4

$16 x + 40$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $- 4$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

단계 2.2

$16$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

단계 2.3

$x$ 가 $- 4$ 에 가까워질 때 상수값 $40$ 의 극한을 구합니다.

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

단계 3

$x$ 에 $- 4$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$16 \cdot - 4 + 40$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$16$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 64 + 40$

단계 4.2

$- 64$ 를 $40$ 에 더합니다.

$- 24$