미적분 예제

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

단계 2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

단계 3.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x^{2} + 1)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ 입니다.

$4 x + 7 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

단계 4.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 x + 7 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 4.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$4 x + 7 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 4.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

단계 4.6

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

단계 4.7

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$4 x + 7 - (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

단계 4.8

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$4 x + 7 - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

단계 5

항을 묶습니다.

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단계 5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $4 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 7$

단계 5.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + 7$

단계 5.3

공통 분모를 가지는 분수로 $7$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

단계 5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x + 7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$