미적분 예제

$f (x) = 4 \sqrt{x} \sin (x)$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

단계 1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 11

$\sin (x)$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 4 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 13.2

항을 묶습니다.

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단계 13.2.1

$4$ 와 $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 13.2.2

$4 \sin (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 13.2.3

공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.3.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 13.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 13.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{\frac{1}{2}}}$