미적분 예제

$f (x) = 4 x (\sin (x) + \cos (x))$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x (\sin (x) + \cos (x))$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x (\sin (x) + \cos (x))]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x (\sin (x) + \cos (x))]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$4 (x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 (x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$4 (x (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1)$

단계 6.2

$\sin (x) + \cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x \cos (x) + x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x \cos (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \sin (x) + 4 \cos (x)$

단계 7.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x \cos (x) - 4 x \sin (x) + 4 \sin (x) + 4 \cos (x)$