미적분 예제

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

단계 2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ 입니다.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

단계 3.2

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$x^{x}$ 을 $e^{\ln (x^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

단계 3.2.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{x})$ 을 전개합니다.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $x \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

단계 3.4

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.5

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

단계 3.7

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

단계 3.8

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

공약수로 약분합니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

단계 3.8.2

수식을 다시 씁니다.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

단계 3.9

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

단계 4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$