미적분 예제

$f (x) = 4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$

단계 1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + \frac{12}{\sqrt{x^{3}}} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{12}{\sqrt{x^{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{3}}$ 을(를) $x^{\frac{3}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.2

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{12}{x^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.3

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x + 12 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$8 x + 12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x + 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.4.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{3}{2}}$ 로 바꿉니다.

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.5

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 x + 12 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.6

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$8 x + 12 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$8 x + 12 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.6.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.10.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$8 x + 12 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.11

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$8 x + 12 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.12

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.13.1

$x^{- 3}$ 를 옮깁니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13.4

$- 3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.13.6.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13.6.2

$- 6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.13.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 x + 12 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$8 x + 12 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.15

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$8 x - 12 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.16

$- 12$ 와 $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ 을 묶습니다.

$8 x + \frac{- 12 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.17

$- 12$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{- 36}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.18

$- 36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.19

공약수로 약분합니다.

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단계 3.19.1

$2 x^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.19.2

공약수로 약분합니다.

$8 x + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.19.3

수식을 다시 씁니다.

$8 x + \frac{- 18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 3.20

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}} + 0$

단계 4.2

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x - \frac{18}{x^{\frac{5}{2}}}$