미적분 예제

$f (x) = 5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{5}] + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{4} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 (x (20 {(x^{4} + 1)}^{4} x^{3}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 (x^{3} x^{1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 (x^{3 + 1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \cdot 1)$

단계 9

${(x^{4} + 1)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

단계 10.2

$20$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$100 (x^{4} ({(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

단계 10.3

$100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4} + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ 에서 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.3.1

$100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4}$ 에서 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

단계 10.3.2

$5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ 에서 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$

단계 10.3.3

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$ 에서 $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4} + x^{4} + 1)$

단계 10.4

$20 x^{4}$ 를 $x^{4}$ 에 더합니다.

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (21 x^{4} + 1)$