미적분 예제

$x e^{x}$

단계 1

$x e^{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x e^{x}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

단계 2.1.1.3.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x e^{x} + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.2.2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.1.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.1.2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.1.2.2.4

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.1.2.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

단계 2.1.2.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.4.1

$e^{x}$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.1.2.4.2

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

단계 2.1.2.4.3

$e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $x e^{x} + 2 e^{x}$ 입니다.

$x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

단계 2.2.2

$x e^{x} + 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

$x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

단계 2.2.2.2

$2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

단계 2.2.2.3

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (x + 2) = 0$

단계 2.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

단계 2.2.4

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.4.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 2.2.4.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.2.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.2.4.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.2.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.2.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.2.6

$e^{x} (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 2$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

단계 5.2.1.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

단계 5.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

단계 5.2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

단계 5.2.1.5

$2$ 와 $\frac{1}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

단계 5.2.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

단계 5.2.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.2.1

$- 4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

단계 5.2.2.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

단계 5.2.3

최종 답은 $- \frac{2}{e^{4}}$ 입니다.

$- \frac{2}{e^{4}}$

단계 5.3

$f'' (- 4)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(- 2, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

단계 6.2.1.2

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

단계 6.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

단계 6.2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 2$

단계 6.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 2$

단계 6.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 6.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8