미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 48 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 48$ 입니다.

$12 x^{2} - 48$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 48 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 48 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $48$ 를 더합니다.

$12 x^{2} = 48$

단계 2.3

$12 x^{2} = 48$ 의 각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$12 x^{2} = 48$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{48}{12}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$48$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 4$

단계 2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 2.5

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 2.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $2, - 2$ 입니다.

$2, - 2$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 48$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 3) = 12 \cdot 9 - 48$

단계 5.2.1.2

$12$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (- 3) = 108 - 48$

단계 5.2.2

$108$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f' (- 3) = 60$

단계 5.2.3

최종 답은 $60$ 입니다.

$60$

단계 5.3

$x = - 3$ 에서의 도함수는 $60$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 2)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 2)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 2, 2)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 - 48$

단계 6.2.2

$0$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - 48$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 48$ 입니다.

$- 48$

단계 6.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $- 48$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 2, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 2, 2)$ 에서 감소함

단계 7

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 48$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 48$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (3) = 108 - 48$

단계 7.2.2

$108$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f' (3) = 60$

단계 7.2.3

최종 답은 $60$ 입니다.

$60$

단계 7.3

$x = 3$ 에서의 도함수는 $60$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- 2, 2)$

단계 9