미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

단계 1

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

단계 3.2

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{y + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

단계 3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

단계 3.2.3

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

단계 3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

단계 3.2.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

단계 3.3

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

단계 3.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

단계 3.4.1.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

단계 3.5

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

단계 3.6

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

단계 3.7

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$y + 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y + 1})$ 을 전개합니다.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

단계 3.7.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

단계 3.7.3

$y + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

단계 3.8

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

단계 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ 가 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

단계 5.2.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{x + 1}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

단계 5.2.3.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

단계 5.2.3.1.3

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

단계 5.2.3.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

단계 5.2.3.1.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

단계 5.2.3.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

단계 5.2.3.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

단계 5.2.3.2

$e^{x + 1} - 4 + 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$- 4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

단계 5.2.3.2.2

$e^{x + 1}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

단계 5.2.3.3

로그 공식을 이용해 지수에서 $x + 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

단계 5.2.3.4

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

단계 5.2.3.5

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

단계 5.2.4

$x + 1 - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

단계 5.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

단계 5.3.3

$\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

단계 5.3.3.2

$\ln (2 x + 4)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

단계 5.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

단계 5.3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

단계 5.3.4.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.3.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

단계 5.3.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

단계 5.3.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

단계 5.3.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

단계 5.3.4.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

단계 5.3.4.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

단계 5.3.5

$x + 2 - 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

단계 5.3.5.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ 은 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$